Topografia • Agrimensura • Cartografia

Cálculo de Área de Poligonais Topográficas Online

Aprenda o cálculo completo usando a Fórmula de Gauss. Veja o passo a passo detalhado utilizado em levantamentos topográficos profissionais.

Introdução Técnica

O que é o cálculo de área de poligonais?

O cálculo de área de poligonais topográficas é um procedimento técnico utilizado para determinar a área de terrenos a partir de coordenadas planimétricas X e Y obtidas em levantamentos topográficos.

Um dos métodos mais utilizados na agrimensura é a Fórmula de Gauss, conhecida internacionalmente como Shoelace Formula. Esse método oferece rapidez, precisão matemática e ampla aceitação em trabalhos de engenharia, cartografia e georreferenciamento.

Importante: o método funciona para poligonais fechadas, onde o último ponto repete o primeiro vértice.
Fórmula Utilizada

Fórmula de Gauss para cálculo de área

Área = | Σ(Xᵢ × Yᵢ₊₁) − Σ(Yᵢ × Xᵢ₊₁) | ÷ 2

O cálculo consiste em multiplicar as coordenadas cruzadas da poligonal, somar os resultados e dividir o valor absoluto por 2.

Passo 1

Organizar as coordenadas da poligonal

O primeiro passo é organizar os vértices da poligonal em sequência e repetir o primeiro ponto ao final da tabela para fechar a figura.

Ponto X (m) Y (m)
P1 224,1855 588,35
P2 340,25 564,12
P3 333,45 446,288
P4 221,526 416,58
P5 248,9836 504,5899
P1 224,1855 588,35

Passo 2 – Multiplicações Cruzadas da Fórmula de Gauss

Nesta etapa, aplicamos a Fórmula de Gauss, também conhecida como Método do Determinante ou Regra do Polígono.

O cálculo consiste em realizar duas somas:

  • Σ1: multiplicação de cada coordenada X pela coordenada Y do próximo ponto.
  • Σ2: multiplicação de cada coordenada Y pela coordenada X do próximo ponto.
Importante: o primeiro ponto deve ser repetido no final da tabela para fechar corretamente a poligonal topográfica.
Ponto X Y X × Yi+1 Y × Xi+1
P1 224,1855 588,35 224,1855 × 564,12
= 126.447,0963 		588,35 × 340,25
= 200.178,5875
P2 340,25 564,12 340,25 × 446,288
= 151.844,0270 		564,12 × 333,45
= 188.097,8340
P3 333,45 446,288 333,45 × 416,58
= 138.908,0910 		446,288 × 221,526
= 98.864,0233
P4 221,526 416,58 221,526 × 504,5899
= 111.776,7009 		416,58 × 248,9836
= 103.743,1885
P5 248,9836 504,5899 248,9836 × 588,35
= 146.447,6985 		504,5899 × 224,1855
= 113.124,8598
Soma Σ1 126.447,0963 + 151.844,0270 + 138.908,0910 + 111.776,7009 + 146.447,6985

Σ1 = 675.423,6137
Soma Σ2 200.178,5875 + 188.097,8340 + 98.864,0233 + 103.743,1885 + 113.124,8598

Σ2 = 703.008,4931
📌 O que aconteceu neste passo?

A Fórmula de Gauss utiliza multiplicações cruzadas entre os vértices da poligonal.

Primeiro somamos os produtos das coordenadas X × Y do próximo ponto (Σ1).

Depois somamos os produtos das coordenadas Y × X do próximo ponto (Σ2).

Essas duas somas serão utilizadas na próxima etapa para calcular a área total da poligonal topográfica.

Passo 3 – Aplicação da Fórmula de Gauss

Após calcular as somas Σ1 e Σ2, aplicamos a fórmula:

Área = | Σ1 − Σ2 | ÷ 2
Etapa Cálculo
1º Passo Área = | 675.423,6137 − 703.008,4931 | ÷ 2
2º Passo Área = | -27.584,8794 | ÷ 2
3º Passo Área = 27.584,8794 ÷ 2
Resultado Final Área = 13.792,44 m²

✅ Área Total da Poligonal: 13.792,44 m²

📌 Por que usamos valor absoluto?

Dependendo da ordem dos vértices da poligonal (horário ou anti-horário), o resultado da subtração pode ficar negativo. Como área não pode ser negativa, utilizamos o valor absoluto na fórmula.

Passo 4 – Conversão da Área para Hectares

Em topografia e agrimensura, grandes áreas geralmente são representadas em hectares (ha).

1 hectare = 10.000 m²
Etapa Cálculo
Conversão 13.792,44 ÷ 10.000
Resultado Final 1,3792 ha

🌱 Área Total: 1,3792 hectares

📌 Entendendo o resultado

A área calculada corresponde a aproximadamente 1,38 hectares, equivalente a cerca de 13.792 metros quadrados.

Resumo Final do Cálculo

Ponto X Y X × Yi+1 Y × Xi+1
P1 224,1855 588,35 126.447,0963 200.178,5875
P2 340,25 564,12 151.844,0270 188.097,8340
P3 333,45 446,288 138.908,0910 98.864,0233
P4 221,526 416,58 111.776,7009 103.743,1885
P5 248,9836 504,5899 146.447,6985 113.124,8598
Σ1 675.423,6137
Σ2 703.008,4931
Área Final 13.792,44 m²
Área em Hectares 1,3792 ha
Ferramenta Online

Calcule automaticamente sua poligonal

Utilize nossa ferramenta online para calcular áreas topográficas automaticamente utilizando coordenadas X e Y.

Acessar Calculadora Online

Perguntas Frequentes

É um método matemático utilizado para calcular áreas de poligonais fechadas através de coordenadas X e Y.

Sim. O método é amplamente utilizado em levantamentos topográficos, agrimensura, cartografia e georreferenciamento.

Sim. Nossa ferramenta converte automaticamente o resultado de metros quadrados para hectares.